Ensembles finis Exemples

$\sqrt{3} x^{2} + x - 4 \sqrt{3} = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = \sqrt{3}$ , $b = 1$ et $c = - 4 \sqrt{3}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot (- 4 \sqrt{3}))}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (- 4 \sqrt{3})}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \sqrt{3} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.3

Multipliez $16 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 3.1.3.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 3}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.5

Multipliez $16$ par $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.6

Additionnez $1$ et $48$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{7^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{- 1 \pm 7}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.3.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 3.3.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \pm 7$ .

$x = \frac{- 1 (- (- 1 \pm 7)) \sqrt{3}}{6}$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{1 (- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$

Étape 3.7

Multipliez $- 1 \pm 7$ par $1$ .

$x = \frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$

Étape 3.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(- 1 \pm 7) \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} (- 1 \pm 7)}{6}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\sqrt{3} (- 1 \pm 7)}{6}$

Forme décimale :

$x = 1.73205080 \dots, - 2.30940107 \dots$